আচ্ছা, ছোটবেলার সেই অঙ্ক ক্লাসের কথা মনে আছে? যখন স্যার বোর্ডে একটা সংখ্যা লিখে জানতে চাইতেন, এটা কী দিয়ে ভাগ করা যাবে? মাথা চুলকে, নামতা আওড়ে উত্তর বের করতে হত, তাই না? সেই “ভাগ করা যাবে কিনা” র খেলাটাই হলো বিভাজ্যতার আসল মজা! আজকের ব্লগ পোস্টে আমরা বিভাজ্যতা (Bibhajyota) নিয়ে সহজ ভাষায় আলোচনা করব। তাহলে চলুন, শুরু করা যাক!
বিভাজ্যতা কী? (Bibhajyota Ki?)
সহজ ভাষায়, বিভাজ্যতা মানে হলো একটি সংখ্যাকে অন্য একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যদি কোনো ভাগশেষ না থাকে। মানে, নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে। ধরুন, আপনার কাছে ১০টি চকলেট আছে, আর আপনি সেগুলো আপনার ৫ জন বন্ধুকে সমানভাবে ভাগ করে দিতে চান। প্রত্যেকে ২টি করে চকলেট পাবে, কোনো চকলেট অবশিষ্ট থাকবে না। এখানে ১০, ৫ দিয়ে বিভাজ্য।
গণিতের ভাষায়, যদি a কে b দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়, তাহলে a কে b দ্বারা বিভাজ্য বলা হয়। এখানে a হলো ভাজ্য (dividend) এবং b হলো ভাজক (divisor)।
আসুন একটা উদাহরণ দেখি:
- ১২ ÷ ৩ = ৪ (ভাগশেষ ০) – এখানে ১২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
- ১৫ ÷ ২ = ৭ (ভাগশেষ ১) – এখানে ১৫, ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
বিভাজ্যতা চেনার সহজ উপায় (Bibhajyota Chenar Sohoj Upay)
সবসময় ভাগ করে দেখাটা একটু ঝামেলার, তাই না? চিন্তা নেই, কিছু সহজ নিয়ম আছে যা দিয়ে দেখেই বলে দেওয়া যায় একটা সংখ্যা কী দিয়ে বিভাজ্য। নিচে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম আলোচনা করা হলো:
২ দ্বারা বিভাজ্যতা (2 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটি জোড় সংখ্যা (০, ২, ৪, ৬, ৮) হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন: ২৪, ৩৬, ১৮০, ৫১২ – এই সবগুলো সংখ্যা ২ দিয়ে ভাগ করা যাবে।
৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য। ধরুন, সংখ্যাটি হলো ১২৩। এর অঙ্কগুলোর যোগফল ১ + ২ + ৩ = ৬, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। তাই ১২৩ সংখ্যাটিও ৩ দিয়ে বিভাজ্য।
৪ দ্বারা বিভাজ্যতা (4 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটিই ৪ দিয়ে বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ, ৫১২ সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক ১২, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য (৪ x ৩ = ১২)। সুতরাং, ৫১২ সংখ্যাটিও ৪ দিয়ে বিভাজ্য। আবার, ২৪১৬ সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক ১৬, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য, তাই পুরো সংখ্যাটিও ৪ দিয়ে বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্যতা (5 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটি ০ অথবা ৫ হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন: ২৫, ৫০, ১২০, ৬২৫ – এই সংখ্যাগুলো ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়।
৬ দ্বারা বিভাজ্যতা (6 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যা একইসাথে ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য হবে। প্রথমে দেখতে হবে সংখ্যাটি জোড় কিনা (২ এর নিয়ম) এবং তারপর অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ যায় কিনা (৩ এর নিয়ম)। যদি দুটোই মিলে যায়, তাহলে বুঝবেন সংখ্যাটি ৬ দিয়ে বিভাজ্য। উদাহরণ: ১৮। এটি জোড় সংখ্যা এবং ১+৮ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ১৮, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (8 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটিই ৮ দিয়ে বিভাজ্য। যেমন, ১১১২ সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক ১১২, যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য (৮ x ১৪ = ১১২)। সুতরাং, ১১১২ সংখ্যাটিও ৮ দিয়ে বিভাজ্য।
৯ দ্বারা বিভাজ্যতা (9 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটিও ৯ দ্বারা বিভাজ্য। ৩ এর নিয়মের মতোই, তবে এক্ষেত্রে যোগফল ৯ দিয়ে ভাগ যেতে হবে। উদাহরণ: ২৭৯। এর অঙ্কগুলোর যোগফল ২ + ৭ + ৯ = ১৮, যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য (৯ x ২ = ১৮)। তাই ২৭৯ সংখ্যাটিও ৯ দিয়ে বিভাজ্য।
১০ দ্বারা বিভাজ্যতা (10 Diye Bibhajyota)
যদি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটি ০ হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি ১০ দ্বারা বিভাজ্য। এটা খুবই সহজ, যেমন: ৩০, ১০০, ৫৫০, ২০০০ – এই সংখ্যাগুলো ১০ দিয়ে ভাগ করা যায়।
১১ দ্বারা বিভাজ্যতা (11 Diye Bibhajyota)
১১ দিয়ে বিভাজ্যতার নিয়মটা একটু অন্যরকম। প্রথমে সংখ্যার অঙ্কগুলোকে ডান দিক থেকে শুরু করে বিজোড় এবং জোড় স্থানগুলোতে ভাগ করুন। তারপর বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলোর যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলোর যোগফল বের করুন। যদি এই দুই যোগফলের পার্থক্য ০ হয় অথবা ১১ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য।
আসুন একটা উদাহরণ দেখা যাক:
সংখ্যাটি হলো ১৩৩১।
- বিজোড় স্থানের অঙ্ক: ১ + ৩ = ৪
- জোড় স্থানের অঙ্ক: ৩ + ১ = ৪
- পার্থক্য: ৪ – ৪ = ০
যেহেতু পার্থক্য ০, তাই ১৩৩১ সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য। (১১ x ১২১ = ১৩৩১)
আরেকটি উদাহরণ:
সংখ্যাটি হলো ৯০৭৫
- বিজোড় স্থানের অঙ্ক: ৫ + ০ = ৫
- জোড় স্থানের অঙ্ক: ৭ + ৯ = ১৬
- পার্থক্য: ১৬ – ৫ = ১১
যেহেতু পার্থক্য ১১, তাই ৯০৭৫ সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য।
সংক্ষেপে বিভাজ্যতার নিয়ম (সংখ্যার তালিকা) (সংখ্যার তালিকা)
| বিভাজক | বিভাজ্যতার শর্ত | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ২ | শেষ অঙ্কটি জোড় সংখ্যা (০, ২, ৪, ৬, ৮) হতে হবে। | ২৪, ৩৬, ১৮০, ৫১২ |
| ৩ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। | ১২৩ (১+২+৩=৬, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য) |
| ৪ | শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। | ৫১২ (১২, ৪ দিয়ে বিভাজ্য) |
| ৫ | শেষ অঙ্কটি ০ অথবা ৫ হতে হবে। | ২৫, ৫০, ১২০, ৬২৫ |
| ৬ | সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয়টি দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। | ১৮ (২ ও ৩ উভয় দ্বারাই বিভাজ্য) |
| ৮ | শেষ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। | ১১১২ (১১২, ৮ দিয়ে বিভাজ্য) |
| ৯ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। | ২৭৯ (২+৭+৯=১৮, যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য) |
| ১০ | শেষ অঙ্কটি ০ হতে হবে। | ৩০, ১০০, ৫৫০, ২০০০ |
| ১১ | বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলোর যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলোর যোগফলের পার্থক্য ০ অথবা ১১ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। | ১৩৩১ (৪-৪=০) , ৯০৭৫ (১৬-৫=১১) |
বিভাজ্যতা কেন দরকারি? (Bibhajyota Keno Darkari?)
বিভাজ্যতা শুধু অঙ্ক পরীক্ষার জন্য নয়, দৈনন্দিন জীবনেও এর অনেক ব্যবহার আছে। নিচে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হলো:
- হিসাব সহজ করা: কোনো জিনিস ভাগ করার সময় বা বিল হিসাব করার সময় বিভাজ্যতার নিয়মগুলো কাজে লাগিয়ে খুব সহজেই হিসাব করে ফেলা যায়।
- গসাগু ও লসাগু নির্ণয়: গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (GCF) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয়ের জন্য বিভাজ্যতা জানাটা খুব জরুরি।
- ভগ্নাংশ সরলীকরণ: কোনো ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করতে হলে লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হয়। এক্ষেত্রে বিভাজ্যতার জ্ঞান কাজে লাগে।
- প্যাটার্ন খুঁজে বের করা: অনেক সময় সংখ্যার প্যাটার্ন বা বিন্যাস বুঝতে বিভাজ্যতা সাহায্য করে।
দৈনন্দিন জীবনে বিভাজ্যতার ব্যবহার
ধরুন, আপনি একটি দোকানে গিয়েছেন কিছু চকলেট কিনতে। প্রতিটি চকলেটের দাম ৫ টাকা। আপনি যদি জানেন আপনার কাছে ঠিক কত টাকা আছে যা ৫ দিয়ে বিভাজ্য, তাহলে আপনি সহজেই হিসাব করতে পারবেন আপনি কয়টি চকলেট কিনতে পারবেন এবং আপনার কাছে কোনো টাকা অবশিষ্ট থাকবে কিনা।
বিভাজ্যতা এবং মৌলিক সংখ্যা (Bibhajyota Ebong Moulik Sonkha)
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো সেই সংখ্যা, যাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না। বিভাজ্যতা জানার মাধ্যমে মৌলিক সংখ্যা সহজে চেনা যায়। যদি কোনো সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা না যায়, তবে সেটি মৌলিক সংখ্যা। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ ইত্যাদি। মৌলিক সংখ্যা চেনার জন্য ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে দেখতে হয়।
বিভাজ্যতা বিষয়ক কিছু মজার তথ্য (Bibhajyota Bishoyok Kichu Mojar Tothyo)
- ১ হলো একমাত্র সংখ্যা যা অন্য সকল সংখ্যাকে ভাগ করতে পারে, কিন্তু ১ কে অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে সবসময় ভাগশেষ থাকে।
- ০ (শূন্য) কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ০ হয়, কিন্তু কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করা যায় না, কারণ এটি অনির্ণেয় (undefined)।
- যেকোনো জোড় সংখ্যা ২ দিয়ে বিভাজ্য, এটা তো সবাই জানে। কিন্তু আপনি কি জানেন, যেকোনো সংখ্যাকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ০ অথবা ১?
কিছু সাধারণ ভুল ধারণা (Kichu Sadharon Vul Dharona)
বিভাজ্যতা নিয়ে অনেকের মনে কিছু ভুল ধারণা থাকে। নিচে কয়েকটি সাধারণ ভুল ধারণা আলোচনা করা হলো:
- সব বিজোড় সংখ্যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য: এটা একটা ভুল ধারণা। যেমন, ৫ একটি বিজোড় সংখ্যা, কিন্তু এটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য নয়।
- বড় সংখ্যা মাত্রই মৌলিক সংখ্যা: অনেক সময় মনে হতে পারে বড় সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা, কিন্তু এটা সত্যি নয়। যেমন, ১৫ একটি ছোট সংখ্যা, কিন্তু এটি মৌলিক সংখ্যা নয় (৩ x ৫ = ১৫)। আবার, অনেক বড় সংখ্যাও যৌগিক হতে পারে।
- ০ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা: ০ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। স্বাভাবিক সংখ্যা ১ থেকে শুরু হয়।
অনুশীলন এবং কুইজ (Onushilon ebong Quiz)
এতক্ষণে আমরা বিভাজ্যতা সম্পর্কে অনেক কিছু জানলাম। এবার কিছু প্রশ্নের মাধ্যমে দেখা যাক, আপনি কতটা বুঝতে পেরেছেন:
- নিচের কোনটি ২ দ্বারা বিভাজ্য?
- ১৫
- ২৭
- ৩২
- ৪১
- নিচের কোনটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য?
- ১৪
- ২৫
- ৩৬
- ৪৭
- নিচের কোনটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য?
- ১২
- ২৩
- ৩৪
- ৩৫
- নিচের কোনটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য?
- ১২১
- ১২৩
- ১২৫
- ১২৭
- ১২৩৪ সংখ্যাটি কি ৪ দিয়ে বিভাজ্য? হ্যাঁ অথবা না।
উত্তরগুলো মিলিয়ে নিন:
- ৩২
- ৩৬
- ৩৫
- ১২১
- না
যদি সবগুলো উত্তর সঠিক হয়, তাহলে আপনি বিভাজ্যতা ভালোভাবেই বুঝতে পেরেছেন। আর যদি কিছু ভুল হয়, তবে চিন্তা নেই, আরও একবার পড়ে নিন!
বিভাজ্যতা নিয়ে কিছু প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন (Frequently Asked Questions – FAQs)
-
প্রশ্ন: সকল জোড় সংখ্যা কি ৪ দিয়ে বিভাজ্য?
- উত্তর: না, সকল জোড় সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য নয়। শুধুমাত্র সেই জোড় সংখ্যাগুলো ৪ দিয়ে বিভাজ্য যাদের শেষ দুটি অঙ্ক ৪ দিয়ে বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ, ৬ একটি জোড় সংখ্যা, কিন্তু এটি ৪ দিয়ে বিভাজ্য নয়।
-
প্রশ্ন: ০ কি কোনো সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য?
- উত্তর: হ্যাঁ, ০ যেকোনো সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য। যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ০ কে ভাগ করলে ভাগফল ০ হয়। তবে, কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করা যায় না, কারণ এটি অনির্ণেয় (undefined)।
-
প্রশ্ন: মৌলিক সংখ্যা কিভাবে বিভাজ্যতার সাথে সম্পর্কিত?
* **উত্তর:** মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না। বিভাজ্যতা জানার মাধ্যমে মৌলিক সংখ্যা সহজে চেনা যায়।
-
প্রশ্ন: বিভাজ্যতা শেখা কি শুধু গণিতের জন্য জরুরি?
- উত্তর: না, বিভাজ্যতা শুধু গণিতের জন্য নয়, দৈনন্দিন জীবনেও এর অনেক ব্যবহার আছে। হিসাব সহজ করা, গসাগু ও লসাগু নির্ণয়, ভগ্নাংশ সরলীকরণ এবং প্যাটার্ন খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে বিভাজ্যতা কাজে লাগে।
-
প্রশ্ন: ১১ দিয়ে বিভাজ্যতা নির্ণয়ের নিয়মটি কি একটু জটিল?
- উত্তর: প্রথমবার দেখলে জটিল মনে হতে পারে, তবে নিয়মটি খুব কঠিন নয়। একটু অনুশীলন করলে সহজেই ১১ দিয়ে বিভাজ্যতা নির্ণয় করা যায়। বিজোড় এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলোর যোগফলের পার্থক্য বের করে দেখুন, পার্থক্য ০ অথবা ১১ দ্বারা বিভাজ্য কিনা।
উপসংহার (Conclusion)
তাহলে, বিভাজ্যতা নিয়ে আমাদের আজকের আলোচনা এখানেই শেষ হলো। আশা করি, বিভাজ্যতা কাকে বলে এবং এর নিয়মগুলো আপনারা ভালোভাবে বুঝতে পেরেছেন। এই নিয়মগুলো শুধু অঙ্ক পরীক্ষার জন্য নয়, বাস্তব জীবনেও অনেক কাজে লাগে। তাই, নিয়মগুলো মনে রাখুন এবং নিয়মিত অনুশীলন করুন।
গণিতকে ভয় না পেয়ে ভালোবাসতে শিখুন, দেখবেন সবকিছু সহজ হয়ে যাবে। আর যদি কোনো প্রশ্ন থাকে, তাহলে কমেন্ট বক্সে জানাতে পারেন। ভালো থাকুন, সুস্থ থাকুন!
