আজ আমরা কথা বলবো গণিতের একটা গুরুত্বপূর্ণ বিষয় নিয়ে – সার্বিক ফাংশন। ফাংশন জিনিসটা অনেকের কাছে একটু কঠিন লাগে, কিন্তু আমি চেষ্টা করব সহজ ভাষায় বুঝিয়ে দিতে, যাতে আপনি সহজেই বুঝতে পারেন সার্বিক ফাংশন আসলে কী।
সার্বিক ফাংশন (Surjective Function) কী?
সার্বিক ফাংশন, যাকে ইংরেজি তে Surjective Function বা Onto Function বলা হয়, এমন একটা ফাংশন যেখানে কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদান ডোমেইনের অন্তত একটা উপাদানের সাথে সম্পর্কিত। একটু কঠিন মনে হচ্ছে, তাই না? চলেন, একটা উদাহরণ দিয়ে বুঝিয়ে দেই।
ধরুন, আপনার কাছে কিছু আপেল (ডোমেইন) এবং কিছু মানুষ (কোডোমেইন) আছে। এখন, যদি প্রত্যেকটা মানুষকে অন্তত একটা করে আপেল দেওয়া হয়, তাহলে আমরা বলতে পারি এটা একটা সার্বিক ফাংশন। কোনো মানুষই আপেল পাওয়া থেকে বাদ যাবে না।
সার্বিক ফাংশন চেনার উপায়
কীভাবে বুঝবেন একটা ফাংশন সার্বিক কিনা? খুব সহজ কিছু উপায় আছে:
- কোডোমেইন এবং রেঞ্জ: যদি কোনো ফাংশনের কোডোমেইন এবং রেঞ্জ একই হয়, তাহলে সেটা সার্বিক ফাংশন। অর্থাৎ, কোডোমেইনে এমন কোনো উপাদান থাকা যাবে না যা রেঞ্জের অন্তর্ভুক্ত নয়।
- ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য কোডোমেইনে প্রতিচ্ছবি: ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য যদি আপনি কোডোমেইনে একটি করে প্রতিচ্ছবি খুঁজে পান, এবং কোডোমেইনের কোনো উপাদান যদি খালি না থাকে, তবে সেটি সার্বিক ফাংশন।
- ফাংশনের লেখচিত্র: লেখচিত্রের মাধ্যমেও সার্বিক ফাংশন চেনা যায়। যদি y-অক্ষের প্রতিটি মানের জন্য লেখচিত্রে অন্তত একটি x-এর মান পাওয়া যায়, তবে সেটি সার্বিক ফাংশন।
সার্বিক ফাংশনের গাণিতিক সংজ্ঞা
গণিতের ভাষায়, একটি ফাংশন f: A → B সার্বিক হবে যদি B সেটের প্রতিটি উপাদান b-এর জন্য A সেটে একটি উপাদান a পাওয়া যায়, যেখানে f(a) = b হয়। এর মানে হলো, B সেটের কোনো উপাদানই ফাংশনের আওতার বাইরে থাকবে না।
সার্বিক ফাংশনের শর্ত
একটা ফাংশনকে সার্বিক হতে হলে কিছু শর্ত পূরণ করতে হয়:
- ফাংশনটিকে অবশ্যই সংজ্ঞায়িত হতে হবে।
- কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেইনে অন্তত একটি উপাদান থাকতে হবে।
- রেঞ্জ এবং কোডোমেইন সমান হতে হবে।
সার্বিক ফাংশনের উদাহরণ
বাস্তব জীবনে এবং গণিতে সার্বিক ফাংশনের অনেক উদাহরণ আছে। কয়েকটা উদাহরণ দেওয়া যাক:
- গণিত: f(x) = x + 1 একটি সার্বিক ফাংশন, যেখানে ডোমেইন এবং কোডোমেইন উভয়ই বাস্তব সংখ্যা। কারণ, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা y-এর জন্য, x = y – 1 একটি বাস্তব সংখ্যা হবে এবং f(x) = y হবে।
- বাস্তব জীবন: মনে করুন, একটা কোম্পানিতে কিছু কর্মী আছে এবং কিছু কাজ আছে। যদি প্রত্যেকটা কাজের জন্য অন্তত একজন কর্মী পাওয়া যায়, তবে সেটা সার্বিক ফাংশন। কোনো কাজই কর্মী না থাকার কারণে আটকে থাকবে না।
সার্বিক ফাংশন এবং এক-এক ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য
সার্বিক (Surjective) ফাংশন এবং এক-এক (Injective) ফাংশন – এই দুটো বিষয় প্রায়ই গুলিয়ে যায়। এদের মধ্যে মূল পার্থক্যগুলো জেনে নেওয়া যাক:
| বৈশিষ্ট্য | সার্বিক ফাংশন (Surjective) | এক-এক ফাংশন (Injective) |
|---|---|---|
| সংজ্ঞা | কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেইনে অন্তত একটি উপাদান থাকবে। | ডোমেইনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের জন্য কোডোমেইনে ভিন্ন ভিন্ন প্রতিচ্ছবি থাকবে। |
| শর্ত | রেঞ্জ = কোডোমেইন | যদি f(x₁) = f(x₂) হয়, তবে x₁ = x₂ হতে হবে। |
| উদাহরণ | f(x) = x + 1 | f(x) = x² (যদি ডোমেইন এবং কোডোমেইন ধনাত্মক সংখ্যা হয়) |
সার্বিক ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা
গণিতে সার্বিক ফাংশনের অনেক গুরুত্ব রয়েছে। এটি ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বুঝতে, ফাংশন বিপরীতকরণ করতে এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে সাহায্য করে। এছাড়াও, কম্পিউটার বিজ্ঞান, অর্থনীতি এবং অন্যান্য ক্ষেত্রেও এর ব্যবহার রয়েছে।
সার্বিক ফাংশন সম্পর্কিত কিছু সাধারণ প্রশ্ন (FAQ)
আশা করি, সার্বিক ফাংশন নিয়ে আপনার মনে যে প্রশ্নগুলো ঘুরপাক খাচ্ছিল, সেগুলোর উত্তর দিতে পেরেছি। আরও কিছু প্রশ্ন এবং সেগুলোর উত্তর নিচে দেওয়া হলো:
সার্বিক ফাংশন চেনার সহজ উপায় কী?
সার্বিক ফাংশন চেনার সহজ উপায় হলো, দেখুন কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেইনে কোনো উপাদান আছে কিনা। যদি থাকে এবং কোডোমেইনের সব উপাদান ব্যবহৃত হয়, তবে সেটি সার্বিক ফাংশন।
সকল ফাংশন কি সার্বিক ফাংশন?
না, সকল ফাংশন সার্বিক নয়। একটি ফাংশনকে সার্বিক হতে হলে কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেইনে অন্তত একটি উপাদান থাকতে হবে।
সার্বিক ফাংশনের বিপরীত ফাংশন কি সবসময় বিদ্যমান?
সার্বিক ফাংশনের বিপরীত ফাংশন তখনই বিদ্যমান থাকবে যখন ফাংশনটি একই সাথে এক-এক (injective) এবং সার্বিক (surjective) হবে। এই ধরনের ফাংশনকে বাইজেক্টিভ (bijective) ফাংশন বলা হয়। শুধুমাত্র বাইজেক্টিভ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকে। যদি কোনো ফাংশন সার্বিক হয় কিন্তু এক-এক না হয়, তবে তার বিপরীত ফাংশন নাও থাকতে পারে।
সার্বিক ফাংশন এবং উপরি ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য কী?
সার্বিক ফাংশন এবং উপরি ফাংশন একই জিনিস। সার্বিক ফাংশনকে বাংলায় উপরি ফাংশনও বলা হয়।
সার্বিক ফাংশনের বাস্তব জীবনের উদাহরণ কী হতে পারে?
মনে করুন, একটি ক্লাসে কিছু শিক্ষার্থী আছে এবং প্রত্যেকের কাছে একটি করে কলম আছে। যদি ক্লাসের প্রত্যেক শিক্ষার্থীর কাছে কলম থাকে, তবে এটি একটি সার্বিক ফাংশনের উদাহরণ। এখানে, শিক্ষার্থী হলো কোডোমেইন এবং কলম হলো ডোমেইন।
সার্বিক ফাংশন না হলে কী সমস্যা হতে পারে?
যদি কোনো ফাংশন সার্বিক না হয়, তবে কোডোমেইনে কিছু উপাদান থাকবে যেগুলোর জন্য ডোমেইনে কোনো প্রি-ইমেজ (pre-image) থাকবে না। এর ফলে, ফাংশনটি সম্পূর্ণ কোডোমেইনকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারবে না, যা অনেক গাণিতিক এবং বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে বাধা দিতে পারে।
লেখকের মন্তব্য
আশা করি, সার্বিক ফাংশন নিয়ে এই আলোচনা আপনাদের ভালো লেগেছে। গণিতের এই বিষয়গুলো একটু কঠিন মনে হলেও, ভালোভাবে বুঝতে পারলে এগুলো খুবই মজার। যদি কোনো প্রশ্ন থাকে, তবে কমেন্ট করে জানাতে পারেন। আর হ্যাঁ, গণিত চর্চা চালিয়ে যান, দেখবেন সবকিছু সহজ হয়ে যাবে।
